Applications des décompositions libres à la dynamique des homéomorphismes de surface

par Alain Sauzet

Thèse de doctorat en mathématiques

Sous la direction de Patrice Le Calvez.

Soutenue en 2001

à Paris 13 .

mots clés

• Homéomorphismes

Résumé

Le théorème de translation de Brouwer affirme que, pour tout homéomorphisme f du plan sans points fixes préservant l'orientation, par tout point x passe une droite de Brouwer c ; c'est l'image d'un plongement topologique propre de r séparant le plan en deux composantes connexes, l'une contenant f(c) et l'autre f - 1(c). Le but de cette thèse est de donner des résultats similaires sur des surfaces plus générales. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude des décompositions en briques d'une surface s. Il s'agit de décompositions symplectiques pour lesquelles le bord d'une famille de briques est une variété de dimension 1. Etant donne un homéomorphisme f de s, on peut faire agir naturellement f sur la décomposition et définir ainsi une dynamique sur l'ensemble des briques. Une démonstration simple du théorème de translation de Brouwer est donnée comme exemple d'application de ces notions. Une classe particulière de décompositions est ensuite étudiée : les décompositions maximales. Celles-ci permettent d'obtenir facilement des droites de Brouwer. Etant donne un revêtement de s, nous montrons qu'il existe des décompositions qui se relèvent en décompositions maximales. Dans la seconde partie de la thèse, nous appliquons les résultats sur les décompositions pour donner des extensions du théorème de translation de Brouwer. Dans le cas du tore, de l'anneau infini et de la sphère pointée, munis d'un homéomorphisme f, nous montrons qu'il existe une droite de Brouwer dans le revêtement universel dont la projection est une courbe simple et propre.

Pas de résumé disponible.