Diverses méthodes pour des problèmes de stabilisation

par Christophe Prieur

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Michel Coron et de Laurent Praly.

Soutenue en 2001

à Paris 11 .

mots clés

• Stabilisation asymptotique
• Robustesse aux bruits
• Contrôle hybride
• Système chaîné
• Equations de Saint-Venant
• Équations différentielles hyperboliques
• Approximation numérique

Résumé

On étudie dans cette thèse des problèmes de stabilisation en théorie du contrôle pour trois types de systèmes différents. Tout d'abord, on introduit, pour les systèmes non linéaires de dimension finie perturbés par des erreurs, une classe de contrôles dits hybrides, car dépendant d'un état mixte discret-continu. Étant donné un système dont l'équilibre est asymptotiquement contrôlable, on montre qu'il existe un contrôle tel que l'équilibre du système bouclé soit globalement asymptotiquement stable avec une robustesse par rapport aux petits bruits. On explicite pour les systèmes chaînés un tel contrôle robuste avec une seule dynamique discrète. On donne également un contrôle hybride et un contrôle par retour d'état continu et périodique en temps qui recollent robustement deux contrôles donnés tout en conservant une propriété de stabilité asymptotique. Ensuite, on étudie le problème de stabilisation d'un bac de fluide par le contrôle du déplacement longitudinal. C'est un problème de théorie du contrôle en dimension infinie car on modélise le problème en utilisant les équations de Saint-Venant qui sont des équations aux dérivées partielles hyperboliques. . .

Résumé

In this thesis, we study some problems of stabilization in control theory for three different class of systems. First, for the non-linear finite-dimensional systems in presence of noise, we introduce a class of hybrid controllers with a mixed continuous/discrete state. Given a system with a globally asymptotically controllable equilibrium, we prove that there exists such a control such that the equilibrium is globally asympotically stable with a robustness property with respect to small perturbations. For the chained systems we explicit such a feeback with only one discrete variable. We give also a hybrid control and a time-varying control which unit robustly any pair of continuous feedbacks and renders the origin a globally asymptotically stable equilibrium. Secondly, we study the stabilization problem of the tank containing a fluid subject. It is subject to a horizontal move. It is a infinite-dimensional control problem because we describe the system by using the shallow water equations which are hyperbolic partial differential equations. . .