Contribution à l'étude de modèles chaotiques par approches métriques et topologiques

= Contribution To The Study Of Chaotic Systems With Metric And Topological Approachs

• Auteur / Autrice : Pierre Werny
• Direction : Patrick Royis, Jean-Marc Malasoma
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Génie civil
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Lyon, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (Villeurbanne2011-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaos déterministe

Résumé

Cette étude porte sur la dynamique non linéaire de deux modèles empruntés au domaine du génie civil. Nous considérons d'abord un milieu granulaire soumis à une excitation paramétrique. L'écoulement des grains peut être décrit en première approximation par un oscillateur non linéaire à un degré de liberté dont le mouvement est régi par un système différentiel linéaire par morceaux. Après une étude analytique de la stabilité de l'unique position d'équilibre, nous proposons un calcul original de la stabilité des solutions périodiques qui sera utilisé pour décrire l'enchaînement des bifurcations de ces solutions. Les régimes chaotiques apparaissant pour de nombreuses valeurs des paramètres sont caractérisés par une approche métrique classique mais également par une approche topologique basée sur l'organisation des orbites périodiques instables formant le squelette des attracteurs chaotiques. Cette analyse conduit à caractériser les dynamiques chaotiques à l'aide d'une matrice carrée représentant leur gabarit. Cette approche est ensuite utilisée lors de la description de crises chaotiques. Aux intermittences de type I sont associées des lois d'échelle ou de distributions de longueurs de phases laminaires que l'on croit caractéristiques. Nous étudions plusieurs systèmes dynamiques présentant des intermittences non classiques avec soit plusieurs canaux de réinjection soit une solution peu instable à proximité de ces canaux. Nous montrons que les mécanismes de réinjection peuvent être modifiés et les lois d'échelle habituellement observées ne sont alors plus vérifiées. Le dernier chapitre s'intéresse à un modèle d'arche d'Euler élastoplastique. Les principales solutions du systèmes sont obtenues par des techniques analytiques et numériques et leurs bifurcations sont ensuite décrites en détails. Une analyse topologique menée sur le principal attracteur chaotique conduit à un gabarit complexe dont la détermination nécessite le développement d'outils adaptés.

Two non-linear chaotic models from civil engineering are studied. We first consider a granular medium under sinusoidal parametric excitation. The granular flow can be described in first approximation by a one degree of freedom non-linear oscillator whose motion is governed by a piecewise linear differential system. After an analytical study of the stability of the single equilibrium position, we investigate the stability of the periodic solutions which will be used to explore the bifurcations’ sequences of these solutions. The chaotic behaviour occurring for many values of the parameters is characterized by a traditional metric approach but also by a topological approach based on the organization of the unstable periodic orbits which are embedding in the strange attractor. This analysis results in characterizing chaotic dynamics using a square matrix representing their template. This approach is then used for the description of chaotic crises. Type I intermittencies are associated with characteristic scaling laws or distributions laws of their laminar phases lengths. We study various non classical type I intermittencies with either several reinjection’s channels or a quite unstable solution in the proximity of these channels. We show that the mechanisms of reinjection can be modified and the scaling laws usually observed are not checked any more. The final chapter deals with a model of an elastoplastic Euler arch. The main solutions of the system are obtained by analytical and numerical methods and their bifurcations are then described in details. A topological analysis carried out on the main chaotic attractor led to a complexe template whose determination requires the development of adapted tools.