Approximation de variétés par réseaux de neurones auto-organisés

par Michaël Aupetit

Thèse de doctorat en Génie industriel

Sous la direction de Alain Haurat et de Pierre Massotte.

Soutenue en 2001

à Grenoble INPG .

mots clés

• Réseaux neuronaux (informatique)
• Approximation, Théorie de l'
• Interpolation (mathématiques)
• Analyse des données

Résumé

Les problèmes de discrimination, de classification, d'approximation de fonctions, de diagnostic ou de commande qui se posent notamment dans le domaine du génie industriel, peuvent se ramener à un problème d'approximation de variétés. Nous proposons une méthode d'approximation de variétés sous-jacentes à une distribution de données, basée sur une approche connexionniste auto-organisée et procédant en trois étapes : un positionnement de représentants de la distribution par des techniques de quantification vectorielle permet d'obtenir un modèle discret, un apprentissage de la topologie de cette distribution par construction de la triangulation induite de Delaunay selon un algorithme d'apprentissage compétitif donne un modèle linéaire par morceaux, et une interpolation non linéaire mène à un modèle non linéaire des variétés. Notre première contribution concerne la définition, l'étude des propriétés géométriques et la proposition d'algorithmes de recherche d'un nouveau type de voisinage "[gamma]-Observable" alliant des avantages du voisinage des k-plus-proches-voisins et du voisinage naturel, utilisable en grande dimension et en quantification vectorielle. Notre seconde contribution concerne une méthode d'interpolation basée sur des "noyaux de Voronoi͏̈" assurant la propriété d'orthogonalité nécessaire à la modélisation de variétés, avec une complexité de calcul équivalente ou plus faible que les méthodes d'interpolation existantes. Cette technique est liée au voisinage [gamma]-Observable et permet de construire différents noyaux gaussiens utilisés dans les réseaux RBFs. Les outils développés dans cette approche originale sont appliqués en approximation de fonctions pour l'identification d'un préhenseur électropneumatique, en approximation de variétés, et en discrimination et analyse de données. Il est notamment montré qu'il est intéressant d'utiliser les voisins 0. 5-observables pour définir les points frontières entre classes et affecter les éléments à leur classe d'appartenance.

Titre traduit

Approximation of manifolds with self-organizing neural networks

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