Conjecture n! et généralisations

par Jean-Christophe Aval

Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique. Mathématiques pures

Sous la direction de Laurent Habsieger.

Soutenue en 2001

à Bordeaux 1 .

mots clés

• Analyse combinatoire
• Fonctions symétriques

Résumé

Cette thèse est consacrée au problème de combinatoire algébrique appelée conjecture n!. Plus explicitement, on étudie la structure de certains espaces notés Mu et indexés par les partitions u de l'entier n. Chaque espace Mu est le cône de dérivation d'un polynôme Delta u, généralisant en deux alphabets le déterminant de Vandermonde. Le coeur de ce travail, motivé par l'interprétation de certains polynômes de Macdonald en termes de multiplicité des représentations irréductibles du Sn-module Mu, est la conjecture n!, énoncée en 1991 par A. Garsia et M. Haiman et récemment prouvée par ce dernier. On s'intéresse ici tout d'abord à l'explicitation de bases monomiales des espaces Mu. Cette approche est très liée à l'étude de l'idéal annulateur de Delta u, et nous conduit à introduire certains opérateurs de dérivation, dits "opérateurs de sauts. " On obtient une base monomiale explicite et une description de l'idéal annulateur pour les partitions en équerres, et pour le sous-espace en un alphabet Mu(X) avec une partition u quelconque. Les opérateurs de sauts se révèlent cruciaux pour l'introduction et l'étude de généralisations de la conjecture n!. Dans le cas des partitions trouées (approche récursive de la conjecture n!), l'obtention d'une base explicite du sous-espace en un alphabet permet de traiter une spécialisation de la fondamentale "récurrence à quatre termes". Dans le cas des diagrammes à plusieurs trous, l'introduction de sommes de cônes de dérivation permet d'énoncer une conjecture généralisant la conjecture n!, supportée par l'obtention d'une borne supérieure et la structure du sous-espace en un alphabet.

Titre traduit

The n! conjecture : study and generalizations

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