Perturbation de domaine dans les E. D. P.

par Nicolas Varchon

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Frédérique Simondon.

Soutenue en 2001

à Besançon , en partenariat avec Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Équations aux dérivées partielles
• Neumann, Problème de

Pas de résumé disponible.

Titre traduit

Domain perturbations in PDEs

Résumé

Le thème principal de ce travail est la stabilité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques ou paraboliques lorsque le paramètre de perturbation est le domaine sur lequel est définie l'équation. Nous souhaitons être en mesure de traîter des situations où les ouverts sont irréguliers, avec des coupures ou des bords de mesure positive. Dans une première partie, nous étudions la stabilité des solutions variationnelles d'une équation ellip- tique du second ordre avec des conditions de bord de type Neumann homogène. Le résultat principal est obtenu sur les familles d'ouverts du plan dont le nombre de composante con- nexes du complémentaire est uniformément borné et munie de la topologie de Hausdorff complémentaire. Sur ces familles, la stabilité des solutions est équivalente à la stabilité de la mesure de Lebesgue des ouverts dans les régions du plan où le terme d'ordre zéro apparaît dans l'équation. En particulier, sans ce terme, les solutions sont stables. Ce dernier point permet de prouver que parmi toutes les coupures joignñt plusieurs points fixes dans une membrane plane, il en existe une qui la laisse la plus résistante possible. La deuxième par- tie est consacrée à la stabilité du flux de solutions de l'équation de la chaleur parabolique semi-linéaire avec des conditions de bord de type Dirichlet homogène. On considère des per- turbations telles que les solutions du problème elliptique associé soient stables. On s'intéresse alors à la stabilité des variétés centrales définies au voisinage des points stationnaires non forcément hyperboliques. Il apparaît que sur les domaines perturbés, le flux de solutions possèdent des variétés invariantes locales qui sont des perturbations continues des variétés centrales.