Distances en géométrie non commutative

par Pierre Martinetti

Thèse de doctorat en Physique mathématique. Physique des particules et modélisation

Sous la direction de Bruno Iochum.

Soutenue en 2001

à Aix-Marseille 1 , en partenariat avec Université de Provence. Section sciences (autre partenaire) .

mots clés

• Champs de jauge (physique)
• Topologie de l'espace métrique
• Théorie quantique des champs
• Spin
• Algèbres non commutatives

Résumé

Cette thèse étudie l'aspect métrique de la géométrie non commutative à travers la formulation de Connes de la distance entre états d'une algèbre. La définition d'un espace non commutatif

Titre traduit

Distances in noncommutative geometry

Résumé

Cette thèse étudie l'aspect métrique de la géométrie non commutative à travers la formulation de Connes de la distance entre états d'une algèbre. La définition d'un espace non commutatif est l'objet du premier chapitre. Des propriétés générales de la formule de la distance sont mises en évidence ainsi que d'importantes simplifications quand l'algèbre est de von Neumann. Dans le deuxième chapitre, les distances sont calculées pour des algèbres de dimension finie. Les cas "Cn" et "Mn(C)" sont envisagés. Dans le troisième chapitre, on étudie la distance pour des géométries obtenues par produit de l'espace-temps riemannien avec une géométrie discrète. Des conditions sont établies garantissant que l'espace discret soit orthogonal, au sens du théorème de Pythagore, à l'espace continu. On obtient ainsi une description complète de la métrique pour un exemple de base de la géométrie non commutative, le modèle à deux couches. On montre également en toute généralité que la métrique d'une géométrie n'est pas perturbée quand on réalise son produit avec une autre géométrie. Le dernier chapitre étudie l'évolution de la métrique lorsque la géométrie est perturbée par des champs de jauges. En se limitant à la partie scalaire de ces champs, on calcule les distances dans la géométrie du modèle standard. Il apparaît que le champ de Higgs est le coefficient d'une métrique riemannienne dans un espace de dimension 4 (continues) + 1 (discrète).