Symetrie et entrelacs de courbes reelles algebriques

par Sébastien Trilles

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Thomas Fiedler.

Soutenue en 2000

à Toulouse 3 .

mots clés

Résumé

Une courbe reelle algebrique x de degre d est l'ensemble des zeros dans cp 2 d'un polynome homogene de degre d en les coordonnees homogenes z 0 : z 1 : z 2. Dans ce travail on ne considere que les courbes lisses, autrement dit les courbes issues d'un polynome p depourvu de singularites dans c 3 0. Nous regardons dans cp 2 l'involution 1 : z 0 : z 1 : z 2 z 0 : z 1 : z 2 qui induit sur le plan projectif reel rp 2 la seule involution non triviale a isotopie equivariante pres. Une courbe x est dite symetrique si x = x. Presque toutes les conjectures formulees sur les courbes reelles algebriques depuis le debut du siecle - fausses dans le cas general - sont vraies dans le cadre des courbes symetriques. Dans le premier chapitre on construit, a l'aide de la partie reelle x r et de la partie miroir x r une courbe y qui habite la surface reglee f 2. Nous etudions les liens entre les courbes x r et y r et interdisons des configurations symetriques de (m-1)-schemas reels de degre 9 et 10. Dans le deuxieme chapitre nous examinons le cas des (m-2)-courbes de degre pair et prouvons dans le cadre symetrique un theoreme analogue a celui de karlamov. Le troisieme chapitre est consacre a l'etude des pinceaux de coniques ou nous degageons un theoreme d'alternance comparable a celui du pinceau de droites de fiedler. Nous appliquons un pinceau de coniques symetriques pour interdire des configurations symetriques de schemas comptant un maximum d'ovales. Dans le quatrieme chapitre on s'interesse a la topologie des courbes reelles algebriques par le biais de la theorie des nuds. A une configuration orientee d'ovales d'une courbe reelle algebrique separante muni du choix d'une droite reelle orientee on associe un entrelacs slice dans la sphere s 3. Par cette approche nous esperons utiliser les techniques d'obstructions d'entrelacs slices pour obtenir de nouvelles restrictions topologiques sur les courbes reelles separantes. Enfin, en annexe de ces resultats, nous joignons une preuve tres visuelle et simplifiee du theoreme de vogel qui transforme tout diagramme d'entrelacs en un diagramme de tresse fermee.

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