Comportements asymptotiques et rigidites en geometries de hilbert

par Edith Socié-Méthou

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Patrick Foulon.

Soutenue en 2000

à l'Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008) .

mots clés

Résumé

Les geometries de hilbert sont des structures metriques sur les ouverts convexes bornes de r n, qui generalisent le modele de klein de la geometrie riemannienne hyperbolique : ce sont les modeles de varietes finsleriennes a courbure constante negative, ils permettent donc d'apprehender la difference entre les cadres riemanniens et finsleriens. Dans une premiere partie, on explicite les conditions, relatives au convexe, sous lesquelles la geometrie de hilbert correspondante est finslerienne. Les geometries de hilbert riemanniennes proviennent de convexes limites par des ellipsoides. On etend ce resultat connu aux geometries de hilbert supposees riemanniennes seulement sur un ouvert. Enfin, on etudie le comportement au voisinage de l'infini de la distance entre deux geodesiques secantes : pour une frontiere strictement convexe, cette fonction est asymptotiquement convexe, mais, contrairement au cas riemannien, elle n'est pas necessairement convexe ; dans le cas general, on montre par des exemples qu'aucun comportement n'est interdit. Dans une seconde partie, on montre que les isometries des bonnes geometries de hilbert sont les applications projectives conservant globalement le convexe, ce qui etait deja connu sous une hypothese de stricte convexite. On demontre ensuite que si la frontiere du convexe est c 2 a hessien defini en tout point alors le groupe d'isometries de la geometrie de hilbert correspondante est compact sauf si la frontiere est un ellipsoide. Sous les memes hypotheses, les seules geometries admettant un quotient sans bord sont riemanniennes.

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