Unicité forte et ensembles nodaux pour des opérateurs elliptiques d'ordre 4

par Philippe Le Borgne

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Claudy Cancelier et de Luc Robbiano.

Soutenue en 2000

à Reims , en partenariat avec Université de Reims Champagne-Ardenne. UFR des sciences exactes et naturelles (autre partenaire) .

mots clés

• Mathématiques
• Théorèmes d'unicité
• Hausdorff, Mesures de
• Opérateurs elliptiques

Résumé

On etablit comme premier resultat l'unicite forte pour des operateurs elliptiques a(x,d), d'ordre 4, a coefficients lipschitziens complexes definis dans un ouvert connexe de r m (m 2) se factorisant en deux operateurs d'ordre 2, q1 et q2 tels que q 1(0,d) = q 2(0,d) = -. L'inegalite associee a l'unicite forte est la suivante |a(x,d)u| c 1 |u|/|x| 4 + c 2|*u|/|x| 3 + c 3(|| = 2|d u| 2) 1 / 2/|x| 2 + c 4||=3|d u|/|x| 1 > 0, c 1, c 2, c 3 et c 4 sont des constantes positives, c 3 < 3/2. La preuve de ce theoreme repose sur l'utilisation d'inegalites de carleman. Dans la suite a(x,d) est le carre d'un operateur elliptique d'ordre 2 tel que a(0,d) = 2 et possede donc la propriete d'unicite forte en tout point x 0 ,. Notre second resultat permet alors de comparer localement toute solution de l'inegalite |a(x,d)u(x)| c | | 3|d u(x)|, ou c est une constante strictement positive, u , h 4 l o c() et u 0, a un polynome biharmonique homogene p x 0 au sens ou pour tout x 0 , , u(x) = p x 0( x 0(x x 0) + x 0(x x 0), x 0 est une transformation affine, le terme d'erreur x 0(x x 0) s'annule en x 0 a un ordre strictement superieur au degre de p x 0. Ce theoreme de decomposition permet d'obtenir des resultats quantitatifs relativement aux mesures de hausdorff des ensembles nodaux. Sous les conditions precedentes, la dimension de hausdorff de l'ensemble u = 0 ; *u = 0 est inferieure a m 1. En consequence, on prouve que l'ensemble u = 0 est de mesure de lebesgue nulle.

Titre traduit

Strong unicity and nodal sets for elliptic operators of order 4

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