Reconstruction de signal par convolution inverse ; application à un problème thermique

par Fouzia Ghannam

Thèse de doctorat en Automatique

Sous la direction de Jean-Claude Trigeassou.

Soutenue en 2000

à Poitiers .

mots clés

• Analyse numérique -- Problèmes mal posés
• Équations aux dérivées partielles -- Problèmes mal posés
• Transfert de chaleur

Résumé

Le travail de recherche presente dans ce memoire concerne la reconstruction de grandeurs physiques non observables a partir de la mesure d'autres variables qui leur sont reliees par un modele mathematique connu. Dans le cadre lineaire, cette reconstruction, connaissant la reponse impulsionnelle du systeme, est une deconvolution numerique. Il est bien connu que la deconvolution directe est un probleme inverse mal pose qui se traduit par une amplification des perturbations affectant les mesures de la sortie. On obtient une solution acceptable en modifiant le conditionnement numerique du probleme : la procedure de regularisation de tikhonov est certainement la plus connue des techniques de resolution des problemes inverses. L'approche traitee dans le memoire consiste a substituer une convolution inverse a l'inversion matricielle requise par la technique de tikhonov, grace a la determination explicite d'une reponse impulsionnelle inverse non causale. Celle-ci est obtenue par une inversion matricielle, mais de dimension nettement plus faible que celle du probleme initial ; de plus, une technique d'inversion recursive peut etre avantageusement utilisee. La simplicite et la rapidite de cette methode de calcul ont permis d'optimiser le coefficient de regularisation a l'aide d'un critere quadratique explicitant le necessaire compromis entre filtrage de la perturbation et la degradation de l'entree par la procedure de regularisation. Une solution sous-optimale est aussi proposee : elle permet de simplifier l'optimisation du critere, tout en fournissant une valeur acceptable du coefficient de regularisation. Cette methodologie a ensuite ete appliquee a un systeme physique base sur l'equation de conduction de la chaleur. Une etude en simulation a permis d'illustrer et de tester dans une situation academique les proprietes de la methodologie proposee. Enfin, une etude experimentale sur pilote de laboratoire a permis de valider la procedure complete, associant identification par erreur de sortie et reconstruction d'excitation par convolution inverse.

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