Choix de structures de modèles pertinentes pour un problème d’inversion

par Sofiane Brahim-Belhouari

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jacques Oksman.

Soutenue en 2000

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Problème inverse
• Equation non linéaire
• Estimation d'erreur
• Estimation de paramètres
• Équations différentielles paraboliques
• Plan d'expérience

Résumé

Dans ce travail, nous développons des procédures de sélection de structures de modèles pour des problèmes d’inversion. Nous nous intéressons plus particulièrement à l’estimation d’une grandeur de mesure, mettant en jeu deux équations non-linéaires. A cause des diverses perturbations agissant sur le système ou faussant les données, une description de nature statistique, modélisant l’influence du bruit comme des processus stochastiques est utilisée. Dans le cadre de notre travail, des décisions doivent être prises à partir de la valeur numérique de l’estimée de la mesure. Il faut donc tenter d’évaluer en quoi ces erreurs affectent les estimées, que ce soit les paramètres ou la mesure. La caractérisation d’incertitude sur l’estimée de la mesure se fait alors en recherchant sa densité de probabilité. Nous élaborons des critères de sélection d’une structure de modèle assurant la meilleure qualité statistique de l’estimateur de la mesure. Cependant, ces méthodes font des hypothèses sur la distribution du bruit pas toujours justifiées, et le cas gaussien est souvent mis en défaut. Le développement d’approches pour des distributions inconnues ou non gaussiennes semble donc d’un intérêt théorique, comme pratique, considérable. L’approche déterministe proposée dans cette thèse utilise des spécifications sur le bruit exprimées en terme de bornes. L’estimation est exprimée en terme d’inversion ensembliste soluble à l’aide de l’analyse par intervalles. Une nouvelle procédure de sélection garantissant une qualité de mesure robuste est présentée. Elle exploite les techniques de modélisation à erreur bornée et une optimisation assurant les meilleures performances dans le pire des cas (optimisation de type minimax). Les procédures de sélection développées dans cette thèse ont été appliquées à un problème de dimensionnement de défaut par courants de Foucault en champ lointain (CFCL). La planification d’expérience correspond à la recherche des conditions expérimentales adaptées au but de la modélisation. Le problème du choix des conditions expérimentales, permettant de choisir au mieux parmi une famille de structures rivales celle qui estime le plus fidèlement une quantité à mesurer, a été étudié. Deux méthodes ont été développées, la première est séquentielle, tandis que la seconde fait appel à une approche bayésienne non-séquentielle.

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