Grandes déviations pour des fonctionnelles issues de la statistique des processus

par Marguerite Zani

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Alain Rouault.

Soutenue en 2000

à Paris 11 .

mots clés

Résumé

Nous etudions le comportement en grandes deviations de variables aleatoires (v. A. ) construites a partir de l'observation d'un processus sur un intervalle de temps que l'on fait tendre vers l'infini. Nous montrons d'abord des principes de grandes deviations (pgd) pour des formes quadratiques de processus gaussiens : periodogrammes localises (resp. Integres) en temps et integres en frequences, ainsi que le rapport de vraisemblance, associes a des processus localement stationnaires ; variations quadratiques de bruits blancs filtres discretises ; analogue du peridogramme en temps continu (processus stationnaires gaussiens indexes par r). Nous montrons egalement un pgd fin (estimees precises) pour les sommes de carres de champs gaussiens stationnaires. Dans chaque cas, nous ramenons l'etude a des sommes ponderees (1/t) k , tz k , t, ou z k , t sont des v. A. Independantes identiquement distribuees, de loi 2(1), et k , t sont les valeurs propres d'operateurs de toeplitz (ou de wiener-hopf) associes aux formes quadratiques considerees. Les outils essentiels sont le theoreme de gartner-ellis que nous etendons a un cas non escarpe, et les theoremes de szego. Nous considerons ensuite des mesures aleatoires dont l'action sur les fonctions est une forme quadratique de processus gaussien stationnaire. Nous montrons des pgd, dont la fonctionnelle de taux agit separement sur la partie absolument continue et sur la partie singuliere de la mesure. Enfin, nous etudions les estimateurs du maximum de vraisemblance du parametre de derive de certaines diffusions : nous donnons un pgd pour l'estimateur de la dimension d'un carre de bessel et un pgd fin pour l'estimateur de la derive du carre du module d'un processus d'ornstein-uhlenbeck de dimension.

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