Problèmes variationnels avec défaut de compacité en systèmes dynamiques et en physique mathématique

par Eric Paturel

Thèse de doctorat en Sciences : Mathématiques appliquées

Sous la direction de Eric Séré.

Soutenue en 2000

à Paris 9 .

mots clés

• Mathématiques appliquées
• Théorie quantique
• Mécanique relativiste
• Dirac, Équation de
• Systèmes hamiltoniens

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'application de certaines méthodes variationnelles à des fonctionnelles présentant un défaut de compacité, et s'organisent autour de deux thèmes : les orbites homoclines des systèmes hamiltoniens et, en physique mathématique, la résolution d'équations ou intervient l'opérateur de Dirac. Dans la première partie, on prouve l'existence d'au moins deux orbites homoclines pour une classe de systèmes hamiltoniens autonomes du second ordre, grâce à une nouvelle méthode variationnelle fondée sur la notion de catégorie relative : on résout des problèmes non autonomes approches, puis on étudie la limite des solutions lorsque la perturbation tend vers 0. Dans la seconde partie, on trouve une infinité de solutions à une équation de Dirac stationnaire non-linéaire, posée sur l'espace-temps de Schwarzschild. La fonctionnelle correspondante, fortement indéfinie, peut être réduite grâce à une propriété de concavité. Conformément à une conjecture de Bachelot-Motet, les solutions trouvées disparaissent lorsque le rayon de la boule massive tend vers le rayon horizon de la métrique. La troisième partie est une étude des équations de Dirac-Fock, analogues relativistes des équations de Hartree-Fock. On prouve dans ce cadre l'existence d'une infinité de solutions stationnaires sous des hypothèses plus larges que celles des travaux d'Esteban et Séré. Apres diverses réductions de la fonctionnelle fortement indéfinie, on développe un min-max s'inspirant des travaux de Conley-Zehnder et Floer.

Titre traduit

Variational problems with a lack of compactness in Dynamical Systems and Mathematical Physics

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