La preuve par le beau : examen critique de l'ontologie mathématique

par Jean-Marc Epelbaum

Thèse de doctorat en Épistémologie

Sous la direction de Jean-François Dégremont.

Soutenue en 2000

à Paris 8 .

mots clés

• Mathématiques -- Philosophie

Résumé

La plupart des mathématiciens croit en l'existence d'un troisième monde. Or, ni l'analyse des mathématiques ni celle des philosophes des mathématiques ne permettent de choisir entre découverte et invention. Cavaillès a voulu démontrer que les inventions s'enchaînaient de manière nécessaire et imprévisible. Cela peut expliquer la croyance des chercheurs mais n'intègre pas les illuminations qu'ils sont nombreux (dont Dieudonné, Weil, Poincaré et Connes) à souligner. Damasio a montré que le cheminement de la pensée peut ne pas être mathématisable et Châtelet démontre que celui-ci n'est jamais donné par les mathématiciens. Une expertise de leur travail est donc entreprise. La première démarche est une enquête internationale par internet, qui apporte de très nombreuse réponses. La seconde cherche à établir le processus de l'invention. Il est démontré que les essais de Poincaré au début du XXe siècle (repris par Hadamard puis Choquet en 1994) sont les seuls disponibles. Il découpe le processus : préparation (souvent à partir de cas particuliers), incubation (phase inconsciente), illumination (suivant plusieurs formes), vérification (l'illumination peut être trompeuse). Poincaré (les chercheurs le confirment dans l'enquête par internet) pense que les idées s'associent dans l'inconscient du mathématicien pour en inventer de nouvelles. Et la sensation de beauté en est le lien systématique. Ce terme de beauté est adopté par tous les chercheurs (le questionnaire auquel ils ont répondu le montre). Ils en décrivent les propriétés mais ne le définissent pas. Cinq situations particulières où apparaît cette beauté (une enfant, un étudiant, un professeur, un exposé de Choquet et une lettre de Cantor) montre qu'elle dépend du niveau de culture mathématique de l'individu et permettent une définition : en mathématiques, est beau ce qui mène à la connaissance. La sensation de découverte que ressent le mathématicien lors de l'ivention est comprise.

Titre traduit

Proof by beauty : a critical examination of mathematical ontology

Résumé

Most mathematicians believe in the existence of a third world. But neither the analysis of mathematics nor the one of the philosophers of mathematics allow to choose between discovery and invention. Cavaillès wanted to demonstrate that inventions were chained in a necessary but imprevisible way. This can explain the researchers' belief but does not take into account the "illuminations" [enlightenments] they are numerous (like Dieudonné, Weil, Poincaré and Connes) to highlight. Damasio shows that the functioning of thought cannot be put in formulas and Châtelet demonstrates that the way their thought works is never given by mathematicians. A careful checking of their work is done. First, an international [survey was sent to mathematicians through the Internet and returned a lot of answers]. Second, we try to establish the functioning of invention. It is showed that that Poincaré's works, made in the beginning of the 20th century, are the only ones [dealing with the functioning of invention]: they have been developped by Hadamard and Choquet in 1994. It analyses the steps of the process: preparation (often from a peculiar case), incubation (unconscious phase), illumination [enlightenment] (sveral ways), checking (because [enlightenment] can be erroneous). Poincaré (and so it is confirmed by the Internet survey) thinks ideas are associated in the mathematician's mind to make new other ones. The feeling of beauty is always the link between those ideas. The word "beauty" is adopted by all researchers, as the surveys shows. The properties are well described, but the word is not defined. Five different situations (a child, a student, a professor, a text of Choquet and a letter from Cantor) shows that this "beauty" depends on the mathematical background of the person and leads to this definition: in mathematics, "beauty" is what leads to knowledge.