Symetries et integrabilite des equations aux differences finies

par STEPHANE LAFORTUNE

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Jean-Pierre Gazeau.

Soutenue en 2000

à Paris 7 .

mots clés

Résumé

La theorie des groupes de lie joue un role tres important dans l'etude des equations differentielles. De plus, l'analyse de painleve est une technique mathematique nous permettant d'etudier l'integrabilite des equations differentielles. Tout comme les equations differentielles, les equations aux differences finies (edf) sont souvent utilisees en physique. Il est donc necessaire de developper un formalisme nous permettant d'etudier les symetries et l'integrabilite des equations aux differences finies tout comme on le fait presentement pour le cas continu. Dans ma these, les symetries sont utilisees dans un premier temps pour la classification d'un systeme d'equations differentielles aux differences finies. Un des resultats les plus interessants obtenus dans cette these concerne l'existence de certains systemes possedant un groupe de symetrie de dimension infinie. Nous etudions aussi des systemes de toda generalises du point de vue de ses symetries. Un des resultats interessants que nous avons obtenu est l'identification de cas n'etant pas completement integrables mais possedant un groupe de symetrie conforme. Pour ce qui est de l'integrabilite, la presente these porte principalement sur des equations dites linearisables, i. E. Des equations qui sont equivalentes a un systeme lineaire. Ce travail s'insere dans le vaste projet de recherche dont le but est de classifier toutes les equations discretes integrables a une variable. Nous classifions de grandes familles de systemes linearisables. Finalement, nous utilisons l'equation de riccati afin d'obtenir des equations du troisieme ordre integrables.

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