Propriétés de Ribes-Zalesskii, topologie profinie, produit libre et généralisations

par Thierry Coulbois

Thèse de doctorat en Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique

Sous la direction de Gabriel Sabbagh.

Soutenue en 2000

à Paris 7 .

mots clés

Résumé

L'objet de ce travail est d'etudier certaines proprietes de la topologie profinie des groupes et de leurs produits libres. Nous introduisons les proprietes suivantes que nous appelons rz n : un groupe a la propriete de ribes-zalesskii au rang n (rz n), si pour tous sous-groupes de type fini, h 1, , h n, le sous-ensemble h 1h 2h n = h 1h 2h n|h 1 , h 1, , h n , h n est ferme pour la topologie profinie. Ces proprietes sont des generalisations des proprietes rf (residuellement fini) et lerf (locally extended residually finite). Nous demontrons que la classe des groupes qui ont la propriete rz n est stable par produit libre et par certains produits libres amalgames. Nous donnons des exemples de groupes ayant des proprietes rz n, en particulier, nous etudions les groupes metabeliens libres et les groupes de m. Hall. Les techniques utilisees s'inspirent des techniques geometriques developpees par r. Gitik et des techniques combinatoires introduites par b. Herwig et d. Lascar. Nous utilisons les isomorphismes partiels de structures relationnelles et nous definissons une notion de preaction d'un groupe sur une telle structure.

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