Distributions spectrales pour des operateurs perturbes

par JEAN-MARC BOUCLET

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Didier Robert.

Soutenue en 2000

à Nantes .

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Résumé

On s'interesse a des perturbations d'operateurs pseudo-differentiels semi-classiques, particulierement dans le cadre de la diffusion. Lorsque le symbole de la perturbation est assez decroissant (en x), on obtient des renseignements spectraux sur l'operateur perturbe avec la formule de birman-krein qu'on interprete comme une formule de taylor (non commutative) a l'ordre 1. Pour des perturbations plus generales, nous definissons les distributions spectrales d'ordre p en poussant ce developpement de taylor a l'ordre p. La distribution spectrale d'ordre 2 est la derivee seconde, au sens des distributions, d'une fonction localement integrable qu'on appelle fonction de koplienko. Lorsque l'operateur non perturbe est a coefficients constants, on obtient un developpement asymptotique complet de cette fonction sur des niveaux d'energie non captifs. On montre egalement une formule reliant la fonction de koplienko aux matrices de diffusion. Pour des operateurs de schrodinger en dimension 3, on etablit une formule de levinson generalisee qui relie les valeurs propres negatives au spectre absolument continu de ces operateurs. On etend ainsi un resultat obtenu initialement pour des potentiels a support compact, au cas de potentiels non integrables.

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