Algèbre de Clifford d'une forme polynôme et représentations
par Yamna El Makkab
Thèse de doctorat en Mathématiques
Sous la direction de Philippe Revoy.
Soutenue en 2000
à Montpellier 2 .
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Résumé
Les algebres de clifford des formes quadratiques sont de dimension finie, en general. Par consequent, leurs representations sont plus faciles a decrire. Pour les formes polynomes homogenes de degre d > 2, la situation est plus delicate, car les algebres de clifford associees sont de dimension infinie. Avant de passer a l'etude de leurs representations, on donne une nouvelle demonstration du theoreme poincare-birkhoff-witt pour ces algebres, a l'aide d'un lemme de composition general. Ceci montre, en particulier, qu'elles possedent des sous-algebres associatives libres. Ensuite, on etablit l'existence d'une famille d'idempotents deux a deux orthogonaux de somme 1 ; ce qui permet d'obtenir plus d'informations sur leurs representations. On generalise un resultat de m. Van den bergh, montrant que les representations irreductibles existent en dimensions arbitrairement grandes. On se restreint un moment, aux formes binaires et ternaires cubiques : on explicite les representations irreductibles dans le premier cas ; puis on montre que le nombre de classes de representations de dimension 3 des algebres de clifford est fini, dans le deuxieme cas. On etudie ensuite les linearisations des formes binaires et ternaires diagonales de degre d en s'inspirant d'une etude faite par s. Tesser. Au terme de ce travail, on decrit, a l'aide d'un resultat de m. Van den bergh, la variete des classes de representations de dimension d d'une forme binaire f, sans facteur carre sur un corps algebriquement clos ; on montre qu'elle est en bijection avec un ouvert affine de la jacobienne de la courbe projective definie par z d = f(x, y).
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