Analyse et simulation de systèmes différentiels fractionnaires et pseudo-différentiels linéaires sous représentation diffusive

par David Héleschewitz

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Denis Matignon.

Soutenue en 2000

à Paris, ENST .

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Résumé

Ce travail est consacré à l'analyse et à la simulation d'équations différentielles ordinaires non standard, telles que les équations différentielles fractionnaires (edf). Cette dénomination provient du fait que dans ces équations, les ordres de dérivation ne sont pas nécessairement des entiers naturels. L'étude porte sur des équations linéaires et à coefficients constants, leur solution s'écrit donc comme une convolution entre le second membre de l'équation et un noyau. Ces operateurs convolutés appartiennent à une classe particulière d'opérateurs pseudo-différentiels (opd), les opd diffusifs. La description d'équations pseudo-différentielles générales à l'aide des représentations diffusives possède de nombreux avantages au premier rang desquels la possibilité d'obtenir une réalisation d'état de l'opérateur sous forme d'une équation de diffusion. Du point de vue de la simulation, on peut alors mettre en œuvre des schémas d'approximation classiques utilisant des méthodes numériques standard. Dans la première partie de la thèse, on montre que les méthodes d'approximations des edf les plus efficaces, sont celles qui exploitent à la fois la structure convolutée de ces équations et leur fonction de transfert, les approximations diffusives pouvant étant vues comme un aboutissement de cette stratégie. La seconde partie est consacrée aux représentations diffusives dont on détaille le cadre mathématique et la convergence des approximations. Les opd diffusifs sont ainsi bien poses dans des espaces de Hilbert adaptes et leur dissipative peut être établie grâce à l'existence d'une fonction de lyapounov explicite. La troisième partie est consacrée à des exemples numériques issus des domaines de la viscoélasticité et de l'acoustique. On étudie d'abord des familles paramétrées d'oscillateurs avec amortissement viscoélastique, fractionnaire ou non. On montre en particulier que la dissipativite des opd diffusifs positifs permet d'établir des résultats de stabilité, et que dans ce cas, la décroissance de la réponse impulsionnelle n'est pas de type exponentiel (mémoire longue). Ces résultats sont ensuite appliques à une équation aux dérivées partielles fractionnaire (modèle de lokshin) en utilisant sa décomposition modale en série d'oscillateurs.

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