Moyens arithmetiques pour un calcul fiable

• Auteur / Autrice : Vincent Lefèvre
• Direction : Jean-Michel Muller
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure (sciences)

Résumé

Le resultat d'une operation sur ordinateur ne peut, en general, pas etre represente exactement : il doit etre arrondi. La norme ieee-754 impose que lorsque l'on effectue une des quatre operations arithmetiques entre deux nombres representables exactement en machine (appeles nombres machine), le systeme doit se comporter comme si on avait d'abord effectue le calcul exactement, puis arrondi celui-ci. Cette exigence, appelee arrondi exact, comporte de nombreux avantages : les resultats sont plus precis, les logiciels plus facilement portables, des proprietes mathematiques sont preservees, on peut construire et prouver des algorithmes en utilisant cette propriete, et obtenir des encadrements certains de resultats. Notre but est de montrer comment garantir l'arrondi exact des fonctions elementaires (exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, etc. ) a cout raisonnable. Le resultat d'une fonction elementaire peut etre a priori tres proche d'un nombre machine ou du milieu de deux nombres machine consecutifs, et si les calculs intermediaires ne sont pas effectues avec suffisamment de precision, on ne saura pas comment arrondir. Ce probleme est connu sous le nom du dilemme du fabricant de tables. Nous cherchons donc a savoir avec quelle precision il faut effectuer les calculs intermediaires de maniere a ce que le dilemme du fabricant de tables ne se produise jamais. Des theoremes de theorie des nombres donnent des bornes sur cette precision, mais elles sont bien plus grandes que la precision necessaire en pratique. Dans l'etat actuel des connaissances, la seule solution pour trouver les meilleures bornes est d'effectuer des tests exhaustifs, qui doivent etre parallelises a cause du tres grand nombre d'arguments a tester. Nous avons egalement travaille sur la multiprecision, qui intervient dans les cas ou les tests exhaustifs ne sont pas possibles, et sur la multiplication rapide par une constante entiere, utile pour nos tests et pour d'autres domaines.