L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée/université : savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation

• Auteur / Autrice : Isabelle Bloch
• Direction : Guy Brousseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Didactique des mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Jury : Président / Présidente : Jean Esterle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michèle Artigue, René Berthelot, Pierre Clanche, François Conne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : André Rouchier

Résumé

Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignement secondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962, variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par les programmes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissances utilisables par les élèves pour effectuer les taches prescrites, et l'équilibre connaissances / savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ce niveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire des connaissances appropriées. Le problème de la validation dans l'enseignement de l'analyse est envisagé à travers : - l'étude de la théorie mathématique analyse, son organisation, ses méthodes de preuve, et la formalisation des preuves ; - la définition de situations fondamentales du concept de fonction et de limite. Par ailleurs l'examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieu propre à l'enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialités non exploitées dans les registres graphiques et formels. La confrontation à la contingence se fait par la construction de situations concernant l'enseignement des notions de fonction et de limite, et par l'observation de leur mise en œuvre. Ceci nous amène à nous interroger sur les connaissances que le professeur met en œuvre pour gérer une situation d'enseignement de l'analyse comportant une composante a-didactique, et sur une modélisation possible du milieu du professeur. Un questionnaire est construit pour l'étude des connaissances sur l'analyse ; son traitement statistique a pour but de tester l'effectivité de l'apprentissage. Dans l'enseignement supérieur, l'étude de transcriptions de cours et de copies d'élèves permet de s'interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l'articulation avec l'enseignement secondaire. En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l'équilibre connaissances / savoirs dans l'enseignement des débuts d'une théorie mathématique ; cet équilibre conditionne les possibilités de validation et, au final, les perspectives d'inscrire l'apprentissage dans un schéma temporel macrodidactique.