Arithmétique des extensions faiblement ramifiées

par Stéphane Vinatier

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Philippe Cassou-Noguès.

Soutenue en 2000

à Bordeaux 1 .

mots clés

Résumé

Apres les nombreux travaux effectués pour étudier la structure galoisienne de l'anneau d'entiers d'une extension modérée de corps de nombres, notamment par Fröhlich et Taylor, Erez s'est intéressé à celle de la racine carrée de la codifférente (le seul idéal auto-dual pour la forme Trace). Il a montré que le cadre naturel pour cette étude est celui des extensions de degré impair faiblement ramifiées, c'est-à-dire pour lesquelles le second groupe de ramification est trivial en toute place. La présence de la ramification sauvage en certaines places pose de nouveaux problèmes, que l'on résout dans cette thèse dans le cas où l'extension est absolue et abélienne aux places sauvages, grâce à une étude exhaustive des extensions locales, absolues, abéliennes et faiblement ramifiées. On s'intéresse aussi au cas non abélien aux places sauvages. Par ailleurs, on construit des exemples d'extensions absolues faiblement ramifiées de degré impair non abéliennes. Le calcul dans ces exemples du réseau unimodulaire obtenu en munissant la racine carrée de la codifférente de la forme Trace permet de montrer qu'il n'est pas toujours isométrique au réseau unimodulaire standard.

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