Preuves en modélisation géométrique par le calcul des constructions inductives
par François Puitg
Thèse de doctorat en Sciences appliquées
Sous la direction de Jean-François Dufourd.
Soutenue en 1999
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Résumé
Cette étude présente un nouveau développement de techniques formelles de spécification et de preuve en modélisation géométrique. Le modèle topologique des cartes combinatoires est axiomatisé dans le calcul des constructions inductives (CCI), une théorie des types bien adaptée à la mécanisation des mathématiques en logique d'ordre supérieur. Une hiérarchie de types abstraits spécifiant les cartes combinatoires est construite et validée par des preuves inductives de consistance et de complétude dans le système Coq, un assistant à la preuve implantant le CCI. Un prototype certifié est obtenu par l'extraction automatique d'algorithmes fonctionnels des preuves constructives de leur correction. Des difficultés classiques en spécification formelle et preuve de théorèmes - comme la cohabitation d'objets et de leur généralisation dans la même hiérarchie, la gestion élégante du sous-typage, la complétion de relations et d'objets partiels, la confrontation des approches constructive et observationnelle, et la symétrisation de relations - sont abordées, non seulement sur le plan des spécifications formelles et de la preuve, mais aussi du point de vue de l'extraction. Grâce notamment à la nouvelle notion de quasi-face, des questions délicates de modélisation géométrique - comme la notion de face, l'énoncé d'un critère de planarité, la preuve de la formule d'Euler et d'un théorème de Jordan topologique - sont ainsi résolues d'une façon originale et incontestable, offrant une grande pénétration des fondements topologiques de la modélisation géométrique et une profonde compréhension du modèle. Une méthodologie de spécification et de preuve applicable à d'autres domaines est enfin proposée.
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Titre traduit
Geometric modeling proofs in the calculus of inductive constructions
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