Monoïdes et automates admettant un produit de mélange

par Jean-Gabriel Luque

Thèse de doctorat en Sciences et techniques. Sciences et techniques communes

Sous la direction de Gérard Duchamp.

Soutenue en 1999

à Rouen .

mots clés

• Minimisation
• Hall
• Congruence
• Produit mélange
• Automates mathématiques, Théorie des
• Monoïdes
• Lie, Algèbres de
• Algèbres commutatives
• Factorisation

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des monoïdes et des automates admettant un produit de mélange. Les deux premiers chapitres sont dédiés aux monoïdes des traces (qui est un cas particulier de monoïde admettant un produit de mélange). Le premier traite de la généralisation aux traces du procédé d'élimination de Lazard. Nous étudions en particulier les bissections de type Lazard dont les deux facteurs sont partiellement commutatifs libres. Par composition, nous fabriquons des factorisations complètes et par crochetages des bases de l'algèbre de Lie partiellement commutative libre. Nous donnons, pour une famille d'alphabets à commutations, une généralisation des ensembles de Hall. Le second chapitre soulève le problème de la caractérisation des éléments du support des algèbres de Lie partiellement commutatives libres. Nous décrivons une famille d'alphabets à commutations pour laquelle cette caractérisation est très proche de celle du cas libre. Le troisième chapitre est consacré à la caractérisation des congruences compatibles avec le produit de mélange. Nous montrons que les commutations partielles sont le cadre maximal pour l'existence d'un produit de mélange lorsque les multiplicités sont dans un non-anneau ou dans un anneau de caractéristique non première. Dans le cas de la caractéristique première, nous donnons une décomposition de ces congruences en parties primitives. Nous montrons également que le mélange de deux automates saturés par une congruence compatible est lui aussi sature. Le dernier chapitre traite de ma participation au projet SEA, et en particulier de la réalisation d'un algorithme de minimisation pour des automates à multiplicités dans un anneau principal.

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