La theorie de la diffusion pour les operateurs de dirac et schrodinger avec des potentiels a longue portee

par YANNICK GATEL

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Dimitri Yafaev.

Soutenue en 1999

à Rennes 1 .

mots clés

Résumé

La theorie de la diffusion admet deux formulations differentes qui sont essentiellement equivalentes : dependante du temps et stationnaire. Dans la premiere, les observables principaux de la theorie sont introduits comme des limites pour de grandes valeurs du temps. Dans la seconde, ils sont donnes en termes de solutions de l'equation aux derivees partielles stationnaire. La premiere partie de cette these est consacree a l'etude de l'operateur de dirac avec un potentiel electromagnetique a longue portee, en utilisant la formulation dependante du temps. A l'aide de la theorie des perturbations lisses, nous construisons des operateurs d'ondes modifies pouvant permettre (hors du cadre de cette these) d'etudier la matrice de la diffusion. Techniquement, la difficulte essentielle de ce probleme est due au caractere matriciel de l'operateur de dirac : ainsi la notion d'equation eiconale perd a priori son sens dans le cas d'une perturbation matricielle quelconque. Cet obstacle peut cependant etre contourne dans le cas d'un potentiel electromagnetique. L'obtention des equations eiconales se fait via une transformation unitaire ramenant l'operateur de dirac libre a une paire d'operateurs de klein-gordon. Enfin, la coincidence de nos operateurs d'ondes modifies avec des constructions plus anciennes est discutee. La deuxieme partie de cette these concerne la description exhaustive de toutes les solutions de l'equation de schrodinger stationnaire (avec un potentiel a longue portee) appartenant a une classe naturelle. On montre que chaque solution satisfaisant une borne a priori a l'infini, est asymptotiquement la somme d'ondes spheriques distordues rentrante et sortante. Les coefficients de ces ondes sont relies par un operateur unitaire, dont nous montrons qu'il coincide, a une reflexion pres, avec la matrice de la diffusion dependante du temps. Ceci generalise un resultat similaire, deja present dans la litterature, pour des potentiels a courte portee.

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