Programmation quadratique appliquee a l'estimation et a la detection de sinusoides

par NICOLAS MOAL

Thèse de doctorat en Traitement du signal

Sous la direction de Jean-Jacques Fuchs.

Soutenue en 1999

à Rennes 1 .

mots clés

Résumé

L'objet de cette these est l'etude de methodes de detection et d'estimation de sinusoides reelles noyees dans du bruit additif. Nous considerons differentes situations : - sinusoides dans du bruit blanc, echantillonnage regulier, - sinusoides dans du bruit blanc, echantillonnage irregulier, - sinusoides dans du bruit arma de matrice de covariance inconnue, - sinusoides amorties (estimation de modeles arma). La resolution de ce probleme au sens du maximum de vraisemblance conduit a un probleme d'optimisation avec de nombreux minima locaux (d'ou la necessite d'un point initial tres proche de la solution), et suppose en outre le nombre de sinusoides connu. Nous proposons une base redondante de decomposition (des donnees ou de leurs covariances) qui nous permet de transformer ce complexe probleme d'optimisation non lineaire en la recherche d'une solution approchee et parcimonieuse a un systeme lineaire sous-determine. Nous definissons alors un critere compose d'un terme quadratique et d'un terme de regularisation utilisant les proprietes de parcimonie de la norme 11. Nous beneficions ainsi des algorithmes de programmation lineaire et quadratique presents dans toutes les bibliotheques de programmes scientifiques. Cette methode nous permet de considerer des cas delicats pour lesquels les methodes classiques proposent rarement des solutions (echantillonnage irregulier, matrice de covariance du bruit inconnue) et resout en outre simultanement les problemes de detection et d'estimation. Nous etudions de facon detaillee les conditions d'optimalite de ce critere, et nous en donnons une interpretation geometrique interessante. Nous montrons egalement que pour un choix pertinent des parametres du critere nous pouvons atteindre les bornes de cramer-rao. Les bonnes performances de cette methode sont illustrees par de nombreuses simulations numeriques.

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