Approximation de problèmes de couverture et de partitionnement de graphes

Approximating covering and partitioning graph problems

• Auteur / Autrice : Laurent Alfandari
• Direction : Vangelis T. Paschos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation polynomiale

Optimisation combinatoire

Résumé

Parmi les problèmes d'optimisation, les problèmes np-difficiles sont tels que les seules méthodes connues de résolution exacte sont des algorithmes de complexité exponentielle, induisant des temps de calcul souvent prohibitifs pour des problèmes de très grande taille. La théorie de l'approximation polynomiale, qui est le cadre d'étude de cette thèse, cherche à concevoir pour ces problèmes des algorithmes approchés, de complexité polynomiale, avec garantie de performance, i. E. Fournissant une solution non toujours optimale mais dont on souhaite pouvoir borner a priori la valeur relativement à l'optimum. Nous traitons particulièrement des problèmes d'optimisation combinatoire dans des graphes, consistant à couvrir ou partitionner les sommets ou les arêtes d'un graphe par des sous-graphes. Nous définissons ainsi la classe MST des problèmes maitre-esclave approximables, dont nous montrons qu'ils se réduisent au problème classique de set covering par une nouvelle forme de réduction préservant l'approximation appelée pseudo-réduction. Nous en déduisons l'inclusion de la classe MST dans la classe apx logn des problèmes approximables à rapport logarithmique. Nous étendons l'utilisation de cette approche et de notre pseudo-réduction à l'approximation de problèmes de packing de graphes. Nous montrons que l'approche maitre-esclave s'applique à de nombreux problèmes d'optimisation, tels que le problème de la forêt recouvrante minimum de diamètre borné, un problème de couverture des arêtes par des arbres, certaines restrictions du problème de construction de rotations, ainsi que le problème de l'arbre recouvrant de poids minimum de profondeur 2, pour lequel nous fournissons divers résultats d'approximation dépassant le cadre de la classe MST. Finalement, nous nous intéressons à la formulation logique des problèmes de couverture et de partitionnement dans le cadre de l'approximation polynomiale, et concluons sur une nouvelle hiérarchie de classes à l'intérieur de la classe apx logn