Classes de courants positifs et surfaces compactes

par AHCENE LAMARI

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Salomon Ofman.

Soutenue en 1999

à Paris 7 .

mots clés

Résumé

Ce travail est consacre a l'etude des classes de dd c-cohomologie de courants positifs de bidegre (1,1) sur une variete complexe compacte. Les resultats les plus significatifs concernent les surfaces. La caracterisation des classes de courants positifs, des classes nef sur une variete compacte n'utilise que le theoreme de separation de hahn-banach. Les courants d-fermes strictement positifs (courants kahleriens) jouent un role essentiel. Leur interet provient du theoreme de regularisation de demailly dont l'une des consequences est l'existence d'une forme kahlerienne en-dehors d'un sous-ensemble de codimension deux. Une surface possedant un courant kahlerien est donc kahlerienne. Un critere analogue a celui de harvey-lawson caracterise les varietes complexes compactes possedant un courant kahlerien. Sur une surface compacte, le theoreme de regularisation de demailly applique aux decompositions de siu (pour les courants positifs d-fermes) et de bassanelli (pour les courants positifs dd c-fermes) permet d'ecrire une classe positive comme somme d'une partie nef et de classes de courbes de self-intersection strictement negative. L'utilisation de la symetrie de hodge permet de demontrer de maniere elementaire l'existence d'un courant kahlerien (donc d'une forme kahlerienne) sur les surfaces a b 1 pair. En utilisant la signature de la forme d'intersection, on obtient un critere de nakai-moishezon pour les classes de formes kahleriennes sur une surface.

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