Contribution a l'etude de la theorie kam : applications a la mecanique celeste et liens avec la theorie des nombres

par Ugo Locatelli

Thèse de doctorat en Terre, océan, espace

Sous la direction de Claude Froeschlé.

Soutenue en 1999

à Nice .

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Résumé

Cette these regroupe un ensemble de travaux concernant, essentiellement, la theorie kam. On presente une demonstration originale du theoreme kam, dans laquelle on determine explicitement une suite de transformations canoniques qui permettent de prouver l'existence des tores invariants. Notre demonstration est differente des demonstrations traditionnelles, parce que la convergence des transformations canoniques est de type analytique dans le petit parametre au lieu d'etre quadratique. On a discute les relations entre notre methode, les methodes traditionnelles et celle qui est basee sur les annulations des arbres. En particulier, on a analyse les differences entre les series de lindstedt et les developpements en series de puissances du petit parametre qui sont engendres par notre algorithme. Sur le modele simple du pendule force, on a montre que notre approche peut etre adaptee a une technique rigoureuse de demonstration computer-assisted du theoreme kam qui semble etre beaucoup plus performante que celles deja existantes. Ensuite nous avons considere un modele simplifie de la partie seculaire du systeme soleil-jupiter-saturne. Notre technique n'a pas reussi a obtenir des resultats realistes qui demontrent la stabilite de ce systeme, mais cet echec est probablement du a l'insuffisance des logiciels a notre disposition. On a analyse les relations entre deux fonctions qui dependent d'une facon tres irreguliere de la frequence de rotation : le seuil de rupture du tore pour l'application standard et la fonction de bruno. On a donne des arguments qui montrent que la conjecture suivante est fausse : il existe un nombre reel , tel que la fonction de seuil critique est en rapport continu avec l'exponentielle de qui multiplie la fonction de bruno.

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