Convergence de semi-groupes de diffusion : amplitude et problème de Skorokhod

par Hélène Ganidis-Cochard

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre Vallois.

Soutenue en 1999

à Nancy 1 , en partenariat avec Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Markov, Processus de
• Semigroupes
• Martingales (mathématiques)
• Convergence (mathématiques)
• Processus de diffusion
• Inégalités (mathématiques)
• Mesures invariantes

Résumé

La thèse est constituée de trois parties indépendantes. Dans la première partie, nous déterminons la vitesse de convergence de certains semi-groupes associés à des processus de diffusion vers leur probabilité invariante. La deuxième partie est consacrée à la loi de l'amplitude pour des chaînes de Markov ultrasphériques ainsi que pour les processus de Bessel. Après avoir établi que les chaînes ultrasphériques, convenablement renormalisées, convergent en loi vers les processus de Bessel, nous explicitons la transformée de Laplace ainsi que le premier moment de l'inverse de l'amplitude ( i. E. Premier instant où l'amplitude dépasse un niveau donne) pour ces deux classes de processus. Les calculs sont développés dans le cas particulier des processus de Bessel de dimension 1 et 3. Enfin, dans la troisième partie, nous considérons deux classes de martingales : 1 - La classe des martingales càdlàg, uniformément intégrables, (Mt)t≥0, dont la loi du couple (M0, M∞) est fixée. 2 - La classe des martingales càdlàg, uniformément intégrables, (Mt)t≥0, dont les lois de M0 et de M∞ sont données. Pour chacun des ces deux problèmes de types Skorokhod, nous construisons des solutions browniennes explicites qui jouent un rôle essentiel dans les inégalités maximales.

Titre traduit

Convergence of diffusion semi-groups : range and Skorokhod's problems

Résumé

This thesis is divided in three independant parts. In first part is estimated the convergence rate of sorne semi-groups associated to diffusion processes to their invariant probability. Second part deals with the law of the range process for ultraspherical Markov chains and Bessel processes. Convergence of ultraspherical Markov chains to Bessel processes is first established. Then are evaluated Laplace transform and firts moment for the range inverse (firt passage time for the range process to a given level). Calculations are developped in the case of Bessel processes of dimension one and three. In third part are considered two classes of martingale: 1 - The class of right continuous left limited, uniformly integrable martingales, (Mt)t≥0, such that the law of (M0, M∞) is given. 2 - The class of right continuous left limited, uniformly intégrable martingales, (Mt)t≥0 such that the laws of M0 and M∞ are given. For each of these two kind of Skorokhod's problem, we construct an explicit brownian solution. These solutions are of great importance in maximal inequalies.