Courbes pseudo-holomorphes et transversalité : la conjecture d'Arnold pour les sous-variétés lagrangiennes fortement négatives

par Laurent Lazzarini

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Daniel Darlet et de Pierre Pansu.

Soutenue en 1999

à Nancy 1 , en partenariat avec Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Courbes algébriques
• Lagrange, Équations de
• Homologie
• Sous-variétés (mathématiques)
• Variétés symplectiques
• Courbes pseudo-holomorphes

Résumé

L'objet de ce travail est de montrer comment une courbe pseudo-holomorphe dans une variété presque complexe de dimension quelconque se factorise en une courbe ayant au moins un point d'injectivite, point crucial pour obtenir des espaces de modules lisses. Le cas facile des courbes fermées est d'abord étudié, puis vient celui des courbes a bord dans une sous-variété totalement réelle. Il apparaît que contrairement a une courbe fermée, une courbe à bord ne peut pas toujours se factoriser en une courbe injective quelque part et a bord dans la même sous-variété lagrangienne. Cependant, il est toujours possible d'extraire de son image une telle courbe. De plus, si la courbe initiale est un disque, on peut exiger que la courbe extraite soit aussi un disque. A titre d'illustration, on démontre sous certaines hypothèses topologiques une version de la conjecture d'Arnold pour l'intersection d'une sous-variété lagrangienne dans une variété symplectique avec ses isotopies hamiltoniennes.

Résumé

The main object of this work is to examine how in an almost complex manifold of any dimension a pseudo-holomorphie curve can be factorized through a somewhere injective curve, in order to get some smooth moduli space of curves. One first deals with the easy case of the closed curves, then with curves with boundary in a totally real submanifold. Contrary to a closed curve, a curve with boundary may be neither somewhere injective nor multi-covered. However it is possible to extract from its image another curve somewhere injective but still with boundary in the totally real submanifold. Moreover, if the initial curve is a disc, then the extracted disc can be 50 as weIl. As an application, one proves a special case of the Arnold conjecture for the intersection of a Lagrangian submanifold and its Hamiltonian isotopies in a symplectie manifold.