Descente effective du corps de définition des revêtements

• Auteur / Autrice : Bounab Sadi
• Direction : Pierre Dèbes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modules (algèbre)

Corps finis

Galois, Théorie de

Résumé

Le thème général de ce travail est la descente du corps de définition des revêtements algébriques. Dans ce contexte, il est naturel d'introduire le corps des modules d'un revêtement. Ce n'est pas toujours un corps de définition mais si c'en est un, c'est le plus petit possible. Notre travail porte plus spécifiquement sur l'obstruction à ce que le corps des modules soit un corps de définition. Dans certaines circonstances, on sait qu'il n'y a pas d'obstruction. Notre but est de préciser les énoncés de descente connus en explicitant un modèle du revêtement en question qui soit défini sur son corps des modules. Ainsi un théorème de Coombes-Harbarter montre qu'un revêtement galoisien de P1 est défini sur son corps des modules. Grâce à une nouvelle approche qui utilise le lemme de Dedekind, nous en donnons une forme plus précise en le sens ci-dessous : notre méthode permet de construire effectivement un modèle sur le corps des modules ; par exemple, nous pouvons donner une borne pour le degré et la hauteur des équations définissant ce modèle. Nous obtenons des résultats similaires dans le cas général de revêtements non nécessairement galoisiens, supposés définis sur leur corps des modules. Ces résultats sont cependant un peu moins précis que dans le cas galoisien.