Topologie Algorithmique : combinatoire et Plongement

par Bruno Lévy

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Laurent Mallet.

Soutenue en 1999

à Vandoeuvre-les-Nancy, INPL , dans le cadre de École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine .

Le jury était composé de Jean-Claude Paul.

Les rapporteurs étaient Claude Puech, Jean-Daniel Boissonnat.

mots clés

• Modélisation tridimensionnelle
• Topologie combinatoire

Résumé

La modélisation 3D s’appuie sur deux principales familles de méthodes. L’une de ces familles de méthodes, appelée souvent courbes et surfaces, se fonde sur une représentation des objets à modéliser par des fonctions (le plus souvent polynomiales). L’autre famille de représentations consiste à discrétiser les objets en cellules (sommets, segments, polygones, polyèdres. . ). Nous étudions ici les problèmes liés à ce dernier type de représentation discrète des objets, ainsi que ses relations avec les « courbes et surfaces ». En utilisant le formalisme offert par la Topologie, une branche moderne des mathématiques, nous allons étudier les problèmes suivants : Définir des structures de données efficaces pour représenter la décomposition des objets en éléments discretsGénérer et éditer interactivement des objets, de manière à respecter des données ainsi que des contraintes globales concernant la forme des objets. - Constuire une paramétrisation sous contraintes d’une surface triangulée, afin de pouvoir facilement lui associer des valeurs. Le premier point sera traité en utilisant certains résultats de topologie combinatoire, et les deux derniers seront étudiés en termes d’homéomorphisme et de transformation continue. Nous présenterons également plusieurs applications de ces méthodes, permettant de résoudre des problèmes de modélisation en géologie numérique. Par exemple, nous montrerons comment modéliser de manière précise les variations de porosité de la roche à l’intérieur d’un réservoir naturel. Des applications possibles de nos méthodes à l’image de synthèse et au placage de textures seront également évoquées

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