Aspects algorithmiques des triangulations minimales des graphes

par Ioan Todinca

Thèse de doctorat en Sciences appliquées

Sous la direction de Jacques Mazoyer.

Soutenue en 1999

à École normale supérieure (Lyon ; 1987-2009) .

mots clés

Résumé

Nous nous sommes interesses dans cette these au calcul de la largeur arborescente des graphes, qui consiste a trouver une triangulation minimale du graphe, tout en minimisant la taille de la clique maximum de la triangulation. Ce probleme est np-difficile en general. Les triangulations minimales des graphes sont fortement liees aux separateurs minimaux, mais les caracterisations des triangulations minimales en termes de separateurs minimaux sont trop globales pour avoir des consequences algorithmiques. Il existe toutefois des algorithmes polynomiaux specifiques, calculant la largeur arborescente pour certaines classes de graphes ayant un nombre polynomial de separateurs minimaux. Nous avons introduit la notion de famille maximale de separateurs voisins, qui est une facon de regrouper les separateurs minimaux induisant des cliques dans les triangulations minimales. Nous avons defini ensuite les cliques maximales potentielles, qui permettent de caracteriser localement et algorithmiquement toutes les cliques maximales de toutes les triangulations minimales d'un graphe. Nous avons prouve que si l'on sait calculer en temps polynomial toutes les cliques maximales potentielles d'un graphe, la largeur arborescente de ce graphe se calcule en temps polynomial. Nous avons montre que pour toutes les classes de graphes pour lesquelles il existait des algorithmes calculant la largeur arborescente, les algorithmes respectifs calculent de maniere implicite les cliques maximales potentielles des graphes donnes. Nous unifions ainsi tous ces algorithmes. Nous avons donne un algorithme enumerant en temps polynomial les cliques maximales potentielles des graphes faiblement triangules, classe pour laquelle le calcul de la largeur arborescente etait un probleme ouvert. Tous ces algorithmes se generalisent au calcul d'un autre parametre de graphes, a savoir la completion minimale.

Titre traduit

Algorithmic aspects of minimal triangulations of graphs

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