Etude de la stabilisation de quelques problemes physiques

par MOUNIR AFILAL

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Jean-Marie Crolet.

Soutenue en 1999

à Besançon .

mots clés

Résumé

Cette these traite de plusieurs questions de stabilisation de systemes lineaires : - stabilisation dynamique et statique d'equations d'evolutions - perturbation singuliere et comportement asymptotique en temps dans le premier theme, on considere le modele conservatif u t t + au = 0 et par couplage d'equations, on etudie deux types de mecanismes de dissipations partie 1. Stabilisation dynamique. La dissipation se fait par couplage d'equation : u t t + au b t = 0 t t + c + bu t + d t = 0 on donne des conditions sur les operateurs a, b, c, d. Pour que la fermeture, de l'operateur associe a ce systeme, soit generatrice d'un semi-groupe de contraction exponentiellement stable. On differentie deux cas : a = c et a = c. Dans le cas ou a = c, avec les resultats obtenus, on retrouve la preuve de la stabilite exponentielle de la poutre de timoshenko dissipee par une seule force. Partie 2. Stabilisation statique la dissipation se fait par l'addition d'un operateur independant du temps : u t t + au + bu t = 0 on formule des conditions sur les operateurs a et b qui rendent le semi-groupe associe exponentiellement stable et compact. La stabilite est prouvee par l'introduction d'une fonction de lyapunov et la compacite fait appel au theoreme de compacite d'aubin. Ce chapitre se termine par l'etude, en dimension un, d'un cas particulier ou b = d(x) x et x d(x) est une fonction positive eventuellement non inversible. Dans le deuxieme theme. Perturbation singuliere et comportement asymptotique en temps. On considere un modele linearise de couplage puits-reservoir, avec un parametre , on se place en dimension deux d'espace. L'existence et l'unicite de la solution sont prouvees ainsi que la stabilite asymptotique. Puis, on met en evidence la non continuite des proprietes suivantes : stabilite exponentielle, analyticite et compacite du semi-groupe associe, dans le passage de = 0 a > 0.

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