Actions de groupes sur des arbres reels, et dynamique dans la frontiere de l'outre-espace

par Vincent Guirardel

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Gilbert Levitt.

Soutenue en 1998

à Toulouse 3 .

mots clés

Résumé

Ce travail est essentiellement consacre a l'etude des actions de groupes sur des arbres reels. Ces objets jouent un role fondamental dans la theorie geometrique des groupes. Dans la premiere partie, nous demontrons un raffinement du theoreme de scindement de rips : toute action stable d'un groupe de presentation finie g sur un arbre reel peut etre approximee par une action de g sur un arbre simplicial avec un bon controle sur les stabilisateurs d'aretes. Dans une seconde partie, nous etudions la dynamique de out(f#n) sur la frontiere $$att$$cv#n de l'outre-espace : nous montrons qu'il existe un ferme propre f#n dans $$att$$cv#n, invariant par out(f#n), sur le complementaire duquel out(f#n) agit proprement discontinument. Nous demontrons ensuite qu'il existe un unique ferme invariant non vide minimal m#n contenu dans f#n. M#n contient toutes les actions simpliciales appartenant a f#n et toutes les actions ayant au plus n - 1 mesures ergodiques. Dans une troisieme partie, nous demontrons qu'on peut lire toute petite action d'un groupe hyperbolique a un bout dans son scindement jsj. Comme corollaire, on obtient la generalisation suivante du theoreme de skora : toute petite action d'un groupe hyperbolique a un bout est geometrique. Dans une quatrieme partie, nous construisons un semi-flot dans l'outre-espace permettant d'obtenir des simplexes de dimension maximales dans $$att$$cv#n. Enfin, dans une cinquieme partie, nous demontrons la finitude de l'ensemble des pseudo-groupes d'isometries non homogenes contenant un pseudo-groupe minimal donne.

Titre traduit

Group actions on real trees, and dynamics on the boundary of outer-space

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