Calcul parallèle des racines d'un polynôme à l'aide de la méthode de Weyl

par Laurent Léger

Thèse de doctorat en Sciences et techniques

Sous la direction de Bernard Gleyse.

Soutenue en 1998

à Rouen .

mots clés

• Calcul parallèle
• Racine équation
• Zéro de polynôme
• Machine parallèle
• Test exclusion
• Programmation parallèle (informatique)
• Équations polynomiales
• Algorithmes
• Groupes de Weyl

Résumé

La résolution d'équations polynomiales, à coefficients réels ou complexes, est un problème qui se rencontre fréquemment en informatique numérique. Dans notre cas, nous avons étudié le comportement, sur machines parallèles, de la méthode de Weyl qui permet de localiser simultanément toutes les racines d'un polynôme. Premièrement, nous rappelons brièvement les propriétés permettant de comparer les diverses méthodes d'approximation (méthodes algébriques, analytiques et géométriques). Ensuite, nous donnons l'algorithme de Weyl en explicitant chacune des étapes qui le composent. Cette méthode repose sur l'application de tests d'exclusion à des carrés, dits suspects, pour localiser les racines. Nous avons donc réalisé une étude de complexité arithmétique pour chacun des tests que nous avons à notre disposition. Puis nous présentons les résultats obtenus avec les premières implémentations de l'algorithme effectuées sur une machine SIMD massivement parallèle Maspar et sur un supercalculateur octoprocesseur Alliant FX-80 à mémoire partagée. Suite à ces résultats, nous nous sommes tournés vers une machine MIMD Cray T3D sur laquelle nous avons travaillé en mode SPMD avec un contrôle des communications effectué par la bibliothèque PVM. Une étude théorique des ressources nécessaires démontre l'espace mémoire indispensable aux calculs. Nous avons également réalisé une étude théorique et pratique de la complexité arithmétique et du coût communication de la méthode ainsi qu'une comparaison avec la méthode de Durand Kerner. Enfin, nous donnons quelques applications de notre algorithme dans les domaines du traitement du signal, de la physique du solide et de la thermodynamique ainsi qu'une comparaison avec la bibliothèque numérique NAG et quelques tests réalisés sur une machine Cray T3E.

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