Sur le tranchage et le prolongement de courants

par Stéphane Giret

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gilles Raby.

Soutenue en 1998

à Poitiers .

mots clés

• CR-sousvariétés
• Ensembles analytiques
• Fonctions plurisousharmoniques

Résumé

Ce travail comporte trois chapitres essentiels. Le premier porte sur l'etude du prolongement des courants positifs a travers une sous-variete de cauchy-riemann, dont la motivation initiale est les resultats de prolongement de h. El mir et n. Sibony et les travaux recents de g. Raby et j. -b. Poly. Dans le cas ou la sous-variete est reelle analytique, on complete cette etude en generalisant les resultats de j. R. King et n. Sibony concernant le probleme de symetrie de schwarz. Pour cela, on est amene a preciser la structure des courants localement plats a support dans une sous-variete de cauchy-riemann. En guise d'application, on s'interesse au prolongement et a l'etude des singularites essentielles des courants positifs a travers des ensembles analytiques reels. Le deuxieme chapitre est consacre au probleme de relevement de courants par un eclatement de centre lisse. Dans une premiere partie, on donne une estimation de l'ordre du releve en fonction de celui du courant initial. On aborde ensuite le cas particulier d'un courant positif. Grace a l'introduction de nombres de lelong directionnels, on obtient des theoremes de relevement pour certaines classes de courants positifs. Comme application, on etudie l'existence du cone tangent a un courant positif. Enfin, le dernier chapitre traite du tranchage le long d'un hyperplan reel. Plus precisement, on dit qu'un courant localement normal t admet une tranche si toutes ses tranches au sens de harvey-shiffman existent et ne dependent pas du choix de la fonction choisie. On montre tout d'abord que t admet un cone tangent directionnel dans les directions reelles. On applique ensuite ce resultat a l'etude du cone tangent a un courant localement normal en 0, et plus particulierement a une chaine sous-analytique. Enfin, on donne une condition necessaire et suffisante sur t qui assure l'existence de la tranche.

Titre traduit

Slicing and extension of currents

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