Application de méthodes spectrales multi-niveaux à différents problèmes de la physique mathématique

par Guy Moebs

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes. Physique

Sous la direction de Roger Temam.

Soutenue en 1998

à Paris 11 .

mots clés

Résumé

L'objet de ce travail est l'etude de certains aspects des methodes spectrales multi-niveaux appliquees a differents problemes de la physique mathematique. Dans un premier temps, nous considerons l'equation de schroedinger non lineaire faiblement amortie comme modele de la transmission de signaux binaires dans une fibre optique. Nous employons la methode fourier-collocation associee au schema en temps split-step agrawal. Une etude du spectre de fourier nous permet de mettre en evidence le role preponderant de l'operateur lineaire dans l'equation regissant les hautes frequences. La methode qui en resulte est validee pour differents niveaux de separation entre basses et hautes frequences et demontre sa capacite a calculer ces dernieres de maniere plus economique. Ensuite nous etudions le traitement de conditions limites non periodiques pour une methode spectrale a deux niveaux : la methode tau-legendre appliquee au probleme d'electromagnetisme 2d de la cavite resonnante. Nous considerons differentes discretisations temporelles conservatives, explicites ou implicites. La non-commutativite des operateurs spectraux de derivation spatiale et de projection orthogonale sur les basses et les hautes frequences, entraine un couplage des equations projetees, qui est renforce par le caractere global des conditions limites. Un algorithme iteratif de type gauss-seidel par blocs, sous-relaxe, nous permet de resoudre ce systeme. Nous menons alors une etude comparative des differents schemas. Enfin, nous presentons des resultats obtenus avec l'equation de burgers stochastique prise comme modele de turbulence. Pour des conditions limites periodiques nous etudions l'evolution en temps des quantites moyennees issues des projections sur les grandes et les petites structures. Pour des conditions limites de non glissement, nous comparons les resultats obtenus par discretisation spatiale spectrale avec ceux obtenus a l'aide d'une discretisation par differences finies.

Titre traduit

Applications of multilevel spectral methods to some problems of the mathematical physics

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