Etats propres de systemes classiquement chaotiques dans l'espace des phases

par STEPHANE NONNENMACHER

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de André Voros.

Soutenue en 1998

à Paris 11 .

mots clés

Résumé

Ce travail a pour objet l'etude des systemes dynamiques quantiques dont la limite classique est chaotique, et en particulier de leurs etats lies. Nous nous restreignons a des systemes unidimensionnels. Les etats quantiques sont representes par des densites de probabilite dans l'espace des phases (densites de husimi), afin de les comparer, dans la limite semi-classique, aux mesures invariantes classiques. De facon duale, tout etat quantique peut etre reconstruit a partir de la constellation formee par les zeros de sa densite de husimi. Nous amorcons l'etude par un systeme hamiltonien integrable presentant un point fixe instable. Une approximation wkb uniforme pres de l'energie critique fournit une description semi-classique precise des etats propres : tandis que leurs densites de husimi se concentrent sur la separatrice, les constellations de zeros s'alignent le long de lignes d'anti-stokes, egalement de nature classique. Nous considerons ensuite des transformations canoniques hyperboliques sur un espace des phases compact (le tore), qui sont tres chaotiques, et qu'on sait quantifier : ce sont les applications du chat d'arnold et du boulanger. Le caractere arithmetique des premieres permet de construire des familles d'etats tres particuliers, appeles etats cristallins en raison de la forme de leurs constellations. Plus generalement, on montre que les etats propres de ces systemes sont bien modelises, en moyenne, par des etats aleatoires gaussiens : leurs densites de husimi, ainsi que leurs constellations, sont semi-classiquement equidistibuees sur le tore, mais presentent neanmoins des fluctuations quantiques universelles. A l'oppose, il semble que les caracteristiques specifiques a un etat propre individuel (par exemple une cicatrice sur un point periodique classique) soient codees de facon robuste par les premiers coefficients de fourier de sa constellation.

Titre traduit

Phase space study of cigenstates of classically chaotic quantum systems

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