Familles d'instances critiques et approximation polynomiale

Critical instance families and polynomial approximation

• Auteur / Autrice : Jérôme Monnot
• Direction : Vangelis T. Paschos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation polynomiale

Complexité de calcul (informatique)

Résumé

S'il est facile de concevoir que le comportement d'un algorithme approché diffère suivant l'instance à traiter, quel est réellement le rôle de ces instances dans l'approximation d'un problème ? Quelles influences ont-elles sur le comportement d'un algorithme ? A quel niveau ? Pour répondre à ces questions, nous avons construit un formalisme permettant d'ordonner les instances selon le niveau d'information qu'elles procurent. Ce formalisme nous conduit à définir des familles d'instances dépendant soit d'un problème soit d'un triplet (problème, algorithme approche, mesure d'approximation). La classification en familles critiques et fortement critiques permet de comprendre, d'analyser et d'éventuellement améliorer le comportement de cet algorithme au pire des cas. Afin de construire de telles familles, nous proposons divers outils et méthodes basés sur la notion centrale de plus mauvaise instance. D'un point de vue opérationnel, concernant la mesure différentielle, nous avons spécifié certaines formes d'instances empêchant la très bonne approximabilité et caractérise les classes ptas() et fptas(). Ensuite, nous avons obtenu, grâce aux familles critiques, des résultats d'approximation positifs et négatifs sur une classe de problèmes de partitionnement définis par certaines propriétés logiques. Les problèmes de la coloration, du bin-packing, de l'ensemble dominant de Steiner en font partie. Précisons toutefois qu'une étude spécifique de ces problèmes met en évidence des différences d'approximation : la coloration appartient à apx()ptas() tandis que le bin-packing appartient à ptas()isfptas(). Enfin, par les mêmes procédés, nous obtenons de bons résultats d'approximation pour les problèmes connexes à celui de l'arbre de Steiner