Comportement a l'explosion des solutions de l'equation de la chaleur avec non-linearite sur-critique

par JULIA MARIA SOBREIRO LOURO DE MATOS

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Thierry Cazenave.

Soutenue en 1998

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

On etudie le phenomene d'explosion en temps fini pour l'equation de la chaleur non-lineaire u t u = |u| p 1u dans (0, t) x , u = 0 sur (0,t) x , u(0) = u 0 dans , (1) ou est un domaine borne regulier de r n ou bien = r n, avec p > 1 et u 0 , l (). La premiere partie est consacree a l'etude du comportement des normes l q de u(t) lorsque t s'approche du temps d'explosion, ou u est une solution de (1) et 1 q < +. Nous presentons des resultats d'explosion des normes critiques et sous-critiques, c'est-a-dire q = n(p 1)/2 et q < n(p1)/2, respectivement. Dans la deuxieme partie, on considere l'equation (1) avec non-linearite sur-critique, c'est-a-dire p > n + 2/n 2 et n 3. On obtient une caracterisation du comportement a l'explosion des solutions radiales positives de (1) sous une condition appropriee portant sur le taux d'explosion. Ce resultat decoule d'un theoreme de convergence pour l'equation parabolique non-lineaire associee a (1) apres le changement de variables auto-similaires autour de (t m,0). Ensuite, on prouve qu'il existe une classe de solutions radiales positives u de (1) qui explosent en temps fini t m avec 0 comme point d'explosion et telles que soit u explose plus vite que le taux d'explosion auto-similaire, soit u admet un profil auto-similaire non-trivial a l'explosion. Ce resultat repose sur un theoreme d'explosion totale apres t m. Enfin, dans la troisieme partie, nous decrivons le comportement asymptotique d'une solution radiale u de (1) autour d'un point d'explosion autre que son centre de symetrie. On montre que u se comporte comme s'il agissait d'un probleme uni-dimensionnel : les profils possibles au voisinage d'un point d'explosion non-focalise sont ceux correspondant au cas de la dimension n = 1.

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