Solutions nodales d'EDP non linéaires

par David Holcman

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Thierry Aubin.

Soutenue en 1998

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

Cette these presente divers aspects de la resolution d'equations aux derivees partielles non lineaires avec exposant critique de sobolev, sur des varietes riemanniennes compactes a bord et sans bord. Dans les deux premieres parties, des solutions nodales minimisantes sont obtenues en utilisant des methodes variationnelles au probleme de dirichlet, ou la donnee au bord change de signe. Des conditions suffisantes sur une fonction f, la metrique g et la variete v n sont donnees explicitement pour obtenir ces solutions. De plus, on trouvera la definition de la masse des varietes localement conformement plates a bord. L'existence de varietes de masse negative et positive est prouvee. La masse sert finalement a construire les solutions minimisantes. Des phenomenes de discontinuite de la famille de solutions lorsque la donnee au bord tend vers 0 sont mis en evidence. Dans la troisieme partie, l'existence de solutions nodales sur des varietes sans bord est prouvee par des techniques variationnelles. De plus, une branche de solutions nodales est construite en utilisant la theorie des bifurcations melangee a une methode de continuite. Ces solutions ont la propriete de ne posseder aucune invariance par isometrie sans point fixe meme si la variete admet une telle invariance. Ce qui constitue un exemple de brisure de symetrie dans une edp non lineaire. Comme consequences on en deduit l'existence de solutions staitionnaires non symetriques de l'equation de schrodinger non lineaire avec exposant critique.

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