Stabilité et stabilisation de systèmes différentiels stochastiques

par Christophe Boulanger

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Patrick Florchinger.

Soutenue en 1998

à Metz .

mots clés

• Équations différentielles stochastiques
• Liapounov, Fonctions de

Résumé

On étudie la stabilité et la stabilisation de systèmes différentiels stochastiques par des méthodes de type Lyapunov développées par Khasminskii ou Arnold. La première partie est consacrée à l'asymptotique stabilisation en probabilité de systèmes différentiels stochastiques. On étudie la régulation par la sortie et la stabilisation par des retours d'état localement bornés de systèmes différentiels stochastiques contrôlés par la technique des fonctions de Lyapunov contrôlées généralisées. D'autre part, des conditions nécessaires et suffisantes sont établies pour asymptotiquement stabiliser en probabilité des systèmes différentiels stochastiques contrôlées par des retours d'état dépendants de la sortie. Dans le cas de systèmes différentiels stochastiques contrôlés linéaires, on obtient un retour d'état linéaire dépendant de la sortie. Une classe de systèmes différentiels stochastiques contrôlés avec sortie à structure triangulaire est globalement asymptotiquement stabilisée en probabilité par un intégrateur. Dans la seconde partie, on stabilise exponentiellement en moyenne quadratique des systèmes différentiels stochastiques à grande échelle, écrits sous forme hiérarchique. De plus, plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques composites sont stabilisés, dont des systèmes partiellement linéaires avec délais ; et des systèmes différentiels stochastiques en cascade. Le but de la troisième partie est d'étudier plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques contrôlés et de déterminer des conditions suffisantes d'existence d'une fonction de Lyapunov contrôlée. La quatrième partie est consacrée à des systèmes différentiels stochastiques dirigés par une infinité de processus de Wiener. Des techniques de type Lyapunov sont obtenues pour la stabilité exponentielle en moyenne quadratique et l'asymptotique stabilité en probabilité. Un problème de filtrage non linéaire en dimension infinie est traité. Nous établissons les équations de Zakai et de Kushner-Stratonovich associées à ce problème de filtrage. De plus, dans le cas non corrélé, une forme robuste de l'équation de Zakai est obtenue.

Titre traduit

Stability and stabilization of stochastic differential systems

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Résumé

In this study we study stability and stabilization of stochastic differential systems by using Lyapunov techniques developed by Khasminskii or Arnold. The first part deals with asymptotic stabilization in probability of stochastic differential systems. The output regulation and stabilization of nonlinear control stochastic systems is studied using locally bounded state feedback. Besides, necessary and sufficient conditions are established to asymptotically stabilize in probability controlled stochastic systems by means of output feedback laws. In the linear case, a linear output feedback law is used. For a class of stochastic differential systems whose output have a triangular structure, sufficient conditions are obtained to asymptotically stabilize in probability the system by means of a smooth output feedback integrator. In the second part, large-scale stochastic differential systems in hierarchical form are exponentially stabilized in mean square if only each of the subsustems is exponentially stable in mean square. Furthermore, composite stochastic differential systems with time delays, and cascade systems are stabilized. The goal of the third part is to compute sufficient conditions for a control of Lyapunov function associated with a class of controlled stochastic differential systems. The fourth part deals with stochastic differential systems driven bay an infinite dimensional Brownian motion. Some Lyapunov techniques are obtained to exponentially stabilize in mean square or asymptotically stabilize in probability this class of systems. Moreover, a nonlinear filtering problem with correlated noises, bounded coefficients and a signal evolving in an infinite dimensional space is studied. We derive the Kushner-Stratonovich and the Zakai equations.