Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers

par Pierre Dusart

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées. Théorie des nombres

Sous la direction de Guy Robin.

Soutenue en 1998

à Limoges , en partenariat avec Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .

mots clés

• Fonctions (mathématiques)
• Nombres premiers
• Pi (le nombre)

Résumé

Les nombres entiers superieurs a 2 se decomposent en deux grandes classes disjointes : les nombres premiers et les nombres composes. Le travail presente s'articule autour de la fonction (x) qui compte le nombre de premiers inferieurs a x. Depuis que le theoreme des nombres premiers a ete demontre, il y a un peu plus de cent ans, nous connaissons un equivalent de (x) pour x tendant vers l'infini. Nous demontrons un encadrement precis de (x) ainsi qu'une estimation pour les nombres premiers par l'intermediaire des fonctions de chebyshev. Nous nous appuyons sur des methodes proposees par rosser & schoenfeld (1975). Dans un deuxieme temps, nous etudions sur quels domaines la fonctions (x) possede la propriete de sous-additivite (x + y) (x) + (y). Cette propriete est pourtant incompatible avec une generalisation des nombres premiers jumeaux : la conjecture des k-uples. Nous exhibons un k-uple admissible super-dense. Enfin, poursuivant le chemin trace par mc curley (1984) puis ramare & rumely (1996), nous donnons des estimations des fonctions de chebyshev dans les progressions arithmetiques. Pour finir, nous proposons un algorithme de calcul exact de (x) jusqu'a x = 10#2#0 dans les progressions arithmetiques base sur la notion de crible combinatoire (crible de meissel-lehmer (1870) plus efficace que le crible d'eratosthene (200 avant jc).

Titre traduit

Around the function which counts the number of primes

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