Etude des équations stationnaires de Stokes et Navier-Stokes dans des domaines extérieurs

par Fréféric Alliot

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Cherif Amrouche.

Soutenue en 1998

à Marne-la-vallée, ENPC .

Le président du jury était Jean-Claude Nédélec.

Le jury était composé de Jacques Simon, Jean Giroire, Claude Le Bris.

Les rapporteurs étaient Jean-Yves Chemin, Vivette Girault.


  • Résumé

    Nous étudions quelques problèmes mathématiques posés par la modélisation d'écoulements de fluides visqueux incompressibles autour d'un obstacle borné, dans l'approximation stationnaire et pour un fluide au repos à l'infini. On dispose alors de modèles classiques avec les systèmes d'équations aux dérivées partielles de Stokes (linéaire) et de Navier-Stokes (non-linéaire), ici posés dans des domaines extérieurs. La première partie est consacrée au problème de Stokes. On y discute l'existence et l'unicité des solutions avec une croissance ou une décroissance donnée à l'infini grâce à l'utilisation d'espaces de Skobelev avec poids. Nous obtenons dans certains cas des développements asymptotiques des solutions. Nous étudions aussi, dans le même cadre fonctionnel, quelques propriétés des champs de vecteurs à divergence nulle. Les résultats sont établis tout d'abord dans l'espace entier, puis dans un domaine extérieur. La seconde partie est dédiée aux équations stationnaires de Navier-Stokes dans des domaines extérieurs. Nous y prouvons, en dimension trois, des résultats de régularité des solutions faibles de ce problème qui permettent de vérifier la condition de repos à l'infini. En dimension deux, on détaille les propriétés asymptotiques d'une famille de solutions vérifiant certaines conditions de symétrie. Grâce à une approche différente basée sur le théorème de point fixe de Banach, nous obtenons, en dimension trois et pour des données suffisamment petites, l'existence et l'unicité d'une solution qui décroit rapidement et établissons un développement asymptotique de celle-ci.

  • Titre traduit

    On the steady-state stokes and navier-stokes equations in exterior domains


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    Our study deals with some mathematical problems ocurring in the modelling of incompressible viscous fluid flows past a bounded body in the steady-state case and we assume the fluid is at rest at infinity. In particular, we have to consider the classical models given by the Stokes and the Navier-Stockes systems of partial differential equations (respectively linear and non linear), which we set here in exterior domains. The first part is devoted to the Stokes problem. We discuss existence and uniqueness of some solutions with prescribed growth or decay at infinity using weighted Sobolev spaces. In some cases, we moreover obtain some asymptotic expansion of the solution. We also study, in the same functional spaces some properties of solenoidal vector fields. The results are first proved in the whole space and then adapted to the case of exterior domains. In the second part, we are interested in the steady-state Navier-Stokes equations in exterior domains. In three dimensions, we prove some regularity results for the weak solutions to this problem which as main consequence satisfy the rest conditions at infinity. In two dimensions, we establish the asymptotic properties of some particular solutions satisfying symmetry conditions. Then we propose, owing to a different approach based on Banach fixed point theorem, some existence and uniqueness results of fastly decaying solutions for small enough data in three dimensions. We moreover give an asymptotic expansion of such solutions.

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Informations

  • Détails : 1vol (159 p.)
  • Annexes : Bibliogr. 69 réf. p. 155-159

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