Diffusion sur les mesures fractales

par Charles-Antoine Guérin

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Matthias Holschneider.

Soutenue en 1998

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Fractales
• Fourier, Transformations de
• Ondelettes
• Schrödinger, Opérateur de

Résumé

L'objet de cette these est l'etude de la diffusion des ondes par des potentiels fractals modelises par des mesures singulieres. Nous cherchons a retrouver certaines caracteristiques du diffuseur, comme les dimensions fractales ou l'auto-similarite eventuelle, a partir du champ reflechi. Dans l'approximation hautes frequences, le probleme se ramene a la caracterisation d'une mesure fractale a partir de sa transformee de fourier. Nous developpons des methodes pour retrouver certaines dimensions fractales (dimension de correlation, dimensions d'ondelettes) d'une mesure a partir de sa transformee de fourier, ainsi que sa structure auto-similaire et sa structure lacunaire. Puis nous generalisons le formalisme de la diffusion quantique en dimension un aux potentiels-mesures et appliquons ces resultats pour relier les donnees de la diffusion en regime stationnaire (section efficace, phase de diffusion) aux proprietes fractales du potentiel. Une application numerique est realisee sur des mesures auto-similaires. Enfin, nous etudions l'aspect temporel et montrons comment l'onde retro-diffusee peut etre interpretee comme une transformee en ondelettes du potentiel, permettant ainsi d'analyser la struture locale de ce dernier.

Titre traduit

Scattering on fractal measures

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