Contrôle optimal d'équations paraboliques avec contraintes sur l'état : relaxation et stabilité

par Nadir Arada

Thèse de doctorat en Contrôle optimal et équations aux dérivées partielles

Sous la direction de Jean-Pierre Raymond.

Soutenue en 1997

à Toulouse 3 .

mots clés

• Commande, Théorie de la
• Dirichlet, Problème de
• Équations différentielles paraboliques
• Relaxation, Méthodes de (mathématiques)
• Stabilité

Résumé

Cette these est consacree a l'etude des problemes de controle optimal gouvernes par des equations paraboliques semilineaires avec contraintes ponctuelles sur l'etat. Des problemes ou l'etat est une fonction continue bornee sur le cylindre espace-temps mais n'est pas continue jusqu'a la frontiere sont consideres : c'est le cas lorsque le controle est un controle frontiere borne dans une condition de dirichlet ou dans une condition initiale. Pour l'obtention des principes de pontryagin, les difficultes sont ici, la non-separabilite de l'espace dans lequel est posee la contrainte, l'interpretation de l'equation adjointe et l'adaptation des techniques de penalisation. En effet, le multiplicateur associe aux contraintes sur l'etat s'interprete comme une mesure sur le compactifie de stone-cech. En adaptant une approche de diperna et majda, nous prouvons un theoreme de decomposition de ce multiplicateur mesure. Ce theoreme nous permet de definir l'equation adjointe comme une equation parabolique avec second membre a donnees mesures de radon. Nous obtenons de la sorte des conditions d'optimalite nouvelles pour cette classe de problemes. Une deuxieme partie concerne la relaxation des problemes de controle par les mesures de young. Des resultats de relaxation ainsi que des conditions necessaires et suffisantes assurant le caractere propre de la relaxation, sont etablis. L'utilisation d'une methode lagrangienne ou d'une methode de penalisation permet d'obtenir des conditions d'optimalite relaxees. Des conditions de stabilite de la fonction valeur par rapport a des perturbations des contraintes sur l'etat, interviennent pour etablir le caractere propre de la relaxation. D'autres conditions garantissent la qualification des contraintes sur l'etat. La relaxation nous a permis de faire une analyse comparative et synthetique de ces differentes conditions. La derniere partie est consacree a l'approximation numerique d'un probleme de controle relaxe gouverne par une equation elliptique. Une estimation de l'erreur d'approximation d'une mesure de young par un controle standard est etablie. L'equation d'etat est discretisee par une methode d'elements finis et la convergence des problemes discretises vers le probleme relaxe continu est etablie.

Titre traduit

Optimal control of parabolic equations with state constraints : stability and relaxation

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