Sur la régularisation des problèmes mal posés. Applications en science du signal et de l'image pour l'astrophysique

par Pierre Maréchal

Thèse de doctorat en Signaux et images

Sous la direction de André Lannes.

Soutenue en 1997

à Toulouse 3 .

mots clés

Résumé

La problematique de synthese de fourier est au cur d'un grand nombre d'applications en science du signal et de l'image, et notamment en astronomie. Il s'agit d'un probleme qui, formule tel quel, s'avere etre mal pose. Il est donc essentiel que les methodes qui permettent de l'apprehender fournissent une solution a la fois stable et interpretable. Les diverses approches que l'on peut envisager se divisent principalement en deux categories : l'une fondee sur des notions elementaires de theorie de l'approximation, et l'autre sur les concepts de la theorie de l'information et de l'inference. Toutefois, quelle que soit la nature de l'argumentation scientifique mise en avant, les methodes auxquelles ces approches aboutissent prennent bien souvent la forme d'un probleme d'optimisation convexe. Ces methodes constituent ce que nous appelons la classe optimale. Le theme central de ce memoire est la synthese et l'unification de ces approches. Nous presentons une etude approfondie du principe du maximum d'entropie sur la moyenne (pmem), laquelle etait motivee par la perspective de l'unification formelle des methodes de la classe optimale. Cette etude, qui s'appuie sur la theorie de la dualite, a necessite quelques developpements mathematiques particuliers dont l'interet depasse le cadre du pmem. Il apparait finalement que, contrairement a ce qu'il semblait promettre, le pmem ne constitue pas un reel progres methodologique pour la regularisation des problemes mal poses. Nous avons effectue par ailleurs une analyse comparative de la methode du maximum d'entropie (au sens classique) et de la methodologie developpee au sein du laboratoire d'astrophysique de l'observatoire midi-pyrenees. Des considerations d'ordres theorique et pratique nous ont conduit a preferer la seconde approche, et a temperer la confiance que l'on accorde generalement aux methodes de type entreopique.

Titre traduit

On the regularization of ill-posed problems applications in signal and image science for astrophysics

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